Ovim tekstom nastavljam obradu teme započete prošli puta, upisom “Gradovi i općine: koliko trošimo?“. Kao što sam i najavio, tema drugoga teksta je matematički model veze između veličine općine i grada s jedne, i potrošnje (na plaće zaposlenika i naknade za političare) s druge strane. Taj bi nam model daljnjom analizom trebao dati odgovor na pitanje – isplati li se spajati jedinice lokalne samouprave, i ako da, po kojem kriteriju. Iako je ovaj dio “najmatematičkiji” (i temelji se na članku koji će biti objavljen u časopisu “Poučak”) potruditi ću se stručnu terminologiju svesti na minimum. Pa krenimo.

Za početak, promotrimo vezu između izdvajanja za plaće i broja stanovnika općina u Hrvatskoj, koja je oslikana na grafu s desne strane. Na x-osi su veličine općina, odnosno broj stanovnika koji žive u njima. Na y-osi su pak iznosi koji se u općinama izdvajaju za plaće zaposlenih. Prvi zadatak je pronaći funkciju (koja je na grafu prikazana kao puna linija), koja najbolje aproksimira dani skup podataka. Uobičajeni je pristup odrediti tzv. „linearnu aproksimaciju“, tj. pronaći pravac koji najbolje opisuje korelaciju – to je primjerice rezultat koji se dade jednim klikom miša pronaći upotrebom Excela. No mene zanima malo jači rezultat – želim odrediti funkciju oblika f(x)=A^.x^α+B, koja će bolje aproksimirati dane podatke, te time dati i kvalitetnije konačne rezultate. Matematička metoda kojom sam se poslužio za rješavanje tog problema naziva se diskretnom metodom najmanjih kvadrata.

Nakon provedene analize, te testiranja modela za različite vrijednosti parametra α, došao sam do funkcije koja najbolje aproksimira troškove za zaposlene u odnosu na broj stanovnika općine, koja glasi:

f(x)=25.66^.x^1.28+470 389.31

Funkcija se sastoji od dva dijela – prvoga, koji ovisi o x, odnosno o broju stanovnika pojedine općine, i drugog, fiksnog dijela. Taj rezultat možemo interpretirati da općine, u prosjeku, imaju 470 000 kuna fiksnih troškova – tako zvani “hladni pogon”. Na te se fiksne troškove (opet, u prosjeku) nadodaje varijabilni dio troškova koji ovisi o broju stanovnika općine.

Slijedeći korak u analizi je dati ocjenu o veličini općina koje se isplati spajati, tj. odrediti za koje x₁ i x₂ vrijedi da je f(x₁+x₂)< f(x₁)+ f(x₂). Matematika te analize je malo presložena za tekst ovog formata, no zainteresirani će ju uskoro moći pročitati u stručnom članku u matematičkom časopisu „Poučak“. Konačni zaključak analize je prikazan na grafu s desne strane: na osima ovog grafa se nalaze veličine dviju općina koje želimo spojiti, a zatamnjeno je područje isplativosti – tj. kombinacije veličina općina čije je spajanje (prema modelu koji opisuje troškove za plaće zaposlenih) isplativo.

S tog grafa primjerice možemo očitati da se isplati spajati dvije općine s po 4000 stanovnika, kao i jednu općinu sa 7000 i drugu sa 2000 stanovnika, no da se primjerice ne isplati spajati dvije općine od kojih jedna ima 4000 stanovnika, a druga 5000 stanovnika. Analiza donosi još neke rezultate – dovoljne uvjete na veličinu općina da bi spajanje bilo isplativo. Tako se spajanje dvaju općina isplati ukoliko obje imaju manje od 4151 stanovnika, spajanje tri općine je isplativo ukoliko sve imaju manje od 3464 stanovnika, a četiri općine se isplati spajati kada sve imaju manje od 3063 stanovnika. Naravno, ove brojeve treba uzeti „sa zrnom soli“, tj. oni su aproksimativnog karaktera, a isplativost spajanja često ovisi i o drugim, nematematičkim parametrima, koje je nemoguće na ovaj način predvidjeti. Pa ipak, rezultat daje okvirnu sliku temeljenu na sadašnjem stanju.

Kada su u pitanju naknade za predstavnička i izvršna tijela, situacija je puno jednostavnija. Iako sam i u ovom slučaju tražio optimalnu aproksimaciju oblika g(x)=A^.x^α+B, analiza podataka je dala linearnu aproksimaciju kao najbolju. Diskretnom metodom najmanjih kvadrata tada dolazimo do njenih koeficijenata, te je iznos naknade za političare obzirom na veličinu općine najbolje opisan funkcijom:

g(x) = 32.86 x + 63484.33

Ovoga je puta dobiveni rezultat još jednostavnije interpretirati – prosječno, općina u Hrvatskoj ima 63 484 kn fiksnih godišnjih troškova za plaćanje nadoknada lokalnim političarima za sudjelovanje u predstavničkim i izvršnim tijelima, a iznos se potom povećava za 32 kune i 86 lipa po svakom stanovniku koji živi u toj općini.

Kod linearne aproksimacije, odgovor na pitanje isplativosti spajanja općina je jednostavno dati – općine se isplati spajati ako je parametar B u aproksimaciji veći od nule. U ovom konkretnom slučaju parametar B iznosi 63484.33, pa se prema opisanom modelu u odnosu na naknade za političare – spajanje općina uvijek isplati provesti.

Kao zaključak, treba istaknuti da rezultate ove analize ne treba uzimati, kako se kaže “zdravo za gotovo”. Analiza je dala pokazatelje – kakav je prosječan trend potrošnje na plaće i naknade za političare obzirom na veličinu općine, te kada se na osnovu takvog trenda, i uz pretpostavku da će se on zadržati, isplati spajati jedinice lokalne uprave i samouprave. Dobiveni kriterij koji jamči isplativost (u okviru opisanog, prosječnog modela) spajanja dviju općina sa manje od 4151 stanovnikom, u našim je prilikama jako širok. Naime,zadovoljava ga čak 346 od 429 općina, tj. njih više od 80%! S napomenom da je isplativo povezivanje i nekih većih općina sa manjima, ukoliko spadaju u područje isplativosti opisano u ovom tekstu. Dodamo li tome da je spajanje općina obzirom na izdvajanja za plaće političara uvijek isplativo, mislim da je tekst dao jasnu sliku o tome što (i kako) nam je činiti glede broja općina u Hrvatskoj.